NHỊ THỨC NEWTON

Định nghĩa về nhị thức newton

Nhị thức Newton

Khai triển ( a + b)ⁿ được cho bởi công thức sau:

Với a, b là các số thức và n là số nguyên dương, ta có:

Quy ước a⁰ = b⁰ = 1

Hệ quả:

Tính chất của công thức nhị thức Newton

Tính chất của công thức nhị thức Newton

• Số các số hạng của công thức là n + 1
• Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức:

( n – k) + k = n

• Số hạng tổng quát của nhị thức là:

T_k+1 = C_n^k a^n-k b^k ( Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển ( a + b)ⁿ )

• Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau

Một số kiến thức liên quan

Công thức khai triển nhị thức newton:

Công thức số tổ hợp

Tính chất lũy thừa

BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON

Cách giải bài toán tìm số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Newton

Bước 1: Khai triển nhị thức newton để tìm số hạng tổng quát:

Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa: np – pk + qk = m

Từ đó tìm: k = ( m – np) / ( p – q)

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là: C_n^k a^n-k b^k với giá trị k đã tìm được ở trên

Nếu k không gnhuyeen hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m, hệ số phải tìm bằng 0

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x^m trong khai triển

P(x) = ( a + bx^p + cx^q)ⁿ được viết dưới dạng a₀ + a₁x + …+ a_2nx²ⁿ 

Ta làm như sau:

• Viết P (x) = ( a + bx^p + cx^q)ⁿ

• Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bx^p + cx^q
• Thành một đa thức theo lũy thừa của x
• Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x^m

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức newton

Ta làm như sau:

• Tính hệ số a_k theo k và n
• Giải bất phương trình sau với ẩn số k

• Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên

Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển ( 2 – 3x)²⁵

Giải

Số hạng thứ 21 trong khai triển là:

C²⁰₂₅. 2⁵ ( -3x)²⁰ = 2⁵. 3²⁰. C²⁰₂₅. X²⁰

Ví dụ 2: Tìm số hạng chính giữa trong khai triển (3x² –y)¹⁰

Giải:

Trong khai triển (3x² –y)¹⁰ có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6. Vậy hệ số của số hạng thứ 6 là -3⁵ .C⁵₁₀

Ví dụ 3: Tìm hệ số của x³ , (x >0) trong khai triển sau:

Giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là: T_{k + 1} = C^k₆ .x^6-k. 2^k. x^(-k/2)

Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 – k – ( k /2) = 3 => k = 3

Khi đó hệ số của x³ là: C³₆.2³ = 160

Bài toán tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.

Tìm hệ số  x^k trong khai triển nhị thức newton

Phương pháp chung:

• Sử dụng công thức khai triển nhị thức newton
• Tìm số hạng có chứa x^k và tìm hệ số tương ứng

Ví dụ: Tìm hệ số của x³ trong khai triển ( 2 + x)⁵

Giải:

Ta có

Cho k = 3 ta được hệ số của x³ là: C³₅. 2^5-3 = 40

Bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải

• Sử dụng khai triển:

(a + b)ⁿ = C⁰_n aⁿ + C¹_n a^n-1b + C²_n a^n-2b² + …+ C^n-1 _n ab^n-1 + Cⁿ_n bⁿ

Suy ra điều phải chứng minh

• Bằng cách thay a, b, n bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.

Bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp

Phương pháp giải các bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp

• Chọ một khai triển ( a+ x)ⁿ phù hợp, ở đây a là hằng số
• Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân
• Dựa vào điều kiện bài toán, thay x bởi một giá trị cụ thể

Bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tổ hợp

Ví dụ: Giải bất phương trình sau: ( A²_2x – A²_x < = ( 6/ x). C³_x + 10

Giải:

Điều kiện: x phải là một số nguyên dương và x > = 3

Ta có bất phương trình đã cho tương đương với:

Vì x là nghiệm nguyên dương và x > = 3 nên x thuộc {3 ; 4}

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài tập 1: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển của biểu thức sau:

Giải:

Công thức khai triển của biểu thức là:

Để số hạng chứa x⁵ vậy k = 2 và n = 3

Vậy hệ số của x⁵ là C²₁₁ + C³₇ = 90

Bài tập 2: Tính B = 2ⁿ C⁰_n – 2^n-1 C¹_n + 2^n-2 C²_n + … + (-1)^k 2^n-k C^k_n + … + (-1)² Cⁿ_n

Giải:

Bài tập 3: Tính C = C⁶₁₀ + C⁷₁₀ + C⁸₁₀ + C⁹₁₀ + C¹⁰₁₀

Giải:

Bài tập 4: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

x( 1- 2x)⁵ + x² (1 + 3x)¹⁰

Bài tập 5: Với n là số nguyên dương, gọi a_{3n – 3} là hệ số của x^{3n – 3} trong khai triển thành đa thức của ( x² + 1)ⁿ ( x + 2)ⁿ. Tìm n để a_{3n – 3} = 26n

Bài tập 6: Tính tổng S = C⁰₂₀₁₃ + 3 C¹₂₀₁₃ + 3² C²₂₀₁₃ + … + 3²⁰¹³ C²⁰¹³₂₀₁₃

Bài tập 7: Tìm hệ số của số hạng chứa x¹⁰ trong khai triển biểu thức:

Bài tập 8: Tìm ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển ( 1 + 2x)¹⁰

Bài tập 9: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P (x) = ( x+1)⁶ + ( x+1)⁷ + … +  ( x+1)¹²

Bài tập 10: Tìm hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển ( 2a – b)⁵