Số chính phương  là một số tự nhiên có căn bậc 2 cũng là một số tự nhiên. Bản chất của số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nào đó. Số chính phương là thể hiện diện tích của một hình vuông với chiều dài là cạnh số nguyên kia.

Ví dụ: 4 = 2², 9 = 3²

Số chính phương hiển thị diện tích của một hình vuông có chiều dài cạnh bằng số nguyên kia.

Các tính chất của số chính phương

Số chính phương có thể tận cùng bằng 0;1;4;5;6;9.Không thể tận cùng bằng 2,3,7,8

Tính chia hết

• Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1
• Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ chia 4 dư 1 hoặc 3
• Số chính phương khi chia cho 5 chỉ có số dư là 0; 1 hoặc là -1 (hay dư 4)

Ví dụ: Chứng minh số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1

Với các số chia hết cho 3:

• Các số đó có dạng 3k (với k là số tự nhiên)
• (3k)² = 9k chia hết cho 3

Với các số không chia hết cho 3:

• Các số đó có dạng 3k + 1; 3k + 2 ( với k là sso tự nhiên)
• Ta có: ( 3k + 1)² = 9k² + 6k + 1 ( chia 3 dư 1)
• (3k + 2)² = 9k² + 6k + 4 ( chia 3 dư 1)

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với mũ chẵn

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không có số sư là 2. Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1

Số ước nguyên dương của số chính phương là một số lẻ

Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p²

Giữa hai số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào

1. n² < x² < (n + 1)² => x thuộc tập rỗng
2. n² < x² < (n + 1)² =>  x² = ( n + 1)²

Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó bằng 0

Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1

1 + 3 + 5 + … + (2n -1) ( n thuộc số tự nhiên khác 0)

Chứng minh một số là số chính phưong

Để chứng minh 1 số là số chính phương ta dựa vào các tính chất và của một số chính phương. Thông thường số chính phương được biểu thị dưới các dạng như sau:

Dạng 4n. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2

Dạng 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 3

Dạng 3n. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2

Dạng 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2

Một số bài tập về số chính phương

Bài tập 1

Chứng minh số n = 2004² + 2003² +2002² – 2001² không phải là số chính phương

Giải:

Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của của các số 2004² + 2003² +2002² – 2001² lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương

Lưu ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương. Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một chút nữa.

Bài tập 2

: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương

Giải:

Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 ( vì chữu số ận cùng của số này là 0) nhưng không chia hết cho 25 ( vì hai chữ số tận cùng của nó là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương

Lưu ý: Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 ( vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 4 ( vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không phải là số chính phương

Bài tập 3

Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phưuong

Giải:

Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 do đó số này không phải là số chính phương

Bài tập 4

Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương

( vì cho giả thiết về tổng các chữ số nên chắc chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9). Chắc chắn số này chia cho 3 phải dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương.

Giải:

Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải số chính phương

Bài tập 5

Chứng minh rằng số 333³³³ + 555⁵⁵⁵ + 777⁷⁷⁷ không phải là một số chính phương

Gợi ý: áp dụng phần phép chia cho .. một chục ?

Bài tập 6

Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ?

Lưu ý: Để chứng minh một số tự nhiên không là số chính phương ta dwuaj vào một trong các điều kiện để một số là số chính phương