KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị của y thì y được gọi là hàm số của x còn x được gọi là biến số.

Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng công thức.

Giá trị của f(x) tại x₀ kí hiệu là f(x₀)

Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm M (x;y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho x, y thỏa mãn hệ thức y = f(x)

Hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến. Cho hàm số y = f(x):

Nếu x₁ < x₂ mà f(x₁) < f(x₂) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
Nếu x₁ < x₂ mà f(x₁) > f(x₂) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R

ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ BẬC NHẤT Y = AX + B

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là những số cho trước và a ≠ 0.

Đặc biệt, khi b = 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y = ax, biểu thị tương quan tỉ lệ thuận giữa y và x

TÍNH CHẤT HÀM SỐ BẬC NHẤT

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:

Đồng biến trên R khi a > 0

Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trong khoảng nào đó nếu với mọi x1 và x2 trong khoảng đó sao cho x1 < x2 thì f(x1 ) < f(x2 )

b) Nghịch biến trên R khi a < 0.

Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trong khoảng nào đó nếu với mọi x1 và x2 trong khoảng đó sao cho x1 < x2 thì f(x1 ) > f(x2 )

Bảng biến thiên:

CÁCH VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT Y = AX + B

Trường hợp 1: Khi b=0

Khi b = 0 thì y =ã là đường thẳng di qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A (1;a) đã biết

Xét trường hợp y= ax với a khác 0 và b khác 0

Ta đã biết đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng, do đó về nguyên tắc ta chỉ cần xác định được hai điểm phân biệt nào đó của đồ thị rồi vẽ đường thẳng qua hai điểm đó

Cách thứ nhất:
- Xác định hai điểm bất kỳ của đồ thị , chẳng hạn:
- Cho x = 1 tính được y = a + b, ta có điểm A ( 1; a+b)
- Cho x = -1 tính được y = -a + b, ta có điểm B (-1 ; -a + b)
Cách thứ hai:
- Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa dộ:
- Cho x = 0 tính được y = b, ta được điểm C (-b/a;0)
- Cho y = 0 tính được x = -b/ a, ta có điểm D (-b/a; 0)
- Vẽ đường thẳng qua A, B hoặc C, D ta được đồ thị của hàm số y = ax + b
- Dạng đồ thị của hàm số y = ax + b ( a khác 0)

Trường hợp 2: Khi b khác 0

Ta cần xác định hai điểm phân biệt bất kì thuộc đồ thị.

Bước 1: Cho x=0=>y=b. Ta được điểm P(0;b)∈Oy.

Cho y=0=>x=−ba. Ta được Q(−ba;0)∈0x.

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q, ta được đồ thị của hàm số y=ax+b.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1

Vẽ đồ thị hàm số của các hàm số

a, y= 2x

b, y=-3x+3

Lời giải:

a, y=2x

Đồ thị hàm số y=2x đi qua điểm O(0; 0) và điểm A(1; 2)

b, y=-3x+3

Cho x=0 thì y=3, ta được điểm P(0; 3) thuộc trục tung Oy

Cho y=0 thì x=1, ta được điểm Q(1; 0) thuộc trục hoành Ox

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y=-3x+3

Bài 2

a, Cho đồ thị hàm số y=ax+7 đi qua M(2; 11). Tìm a

b, Biết rằng khi x=3 thì hàm số y=2x+b có giá trị bằng 8, tìm b

c, Cho hàm số y=(m+1)x. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua A(1; 2)

Gợi ý lời giải :

a, Vì đồ thị hàm số y=ax+7 (1) đi qua M(2; 11) nên thay x=2; y=11 vào (1) ta được:11=2a+7. Từ đó suy ra a=2.

Vậy a=2

b, Thay y=8; x=3 vào hàm số y=2x+b ta được: 8=6+b. Suy ra b=2

Vậy b=2

c, Vì đồ thị hàm số y=(m+1)x (2) đi qua A(1; 2) nên thay x=1; y=2 vào (2) ta được: 2=(m+1).1. Từ đó suy ra m=1

Vậy m=1

Bài 3

Xác định hàm số y=ax+b trong mỗi trường hợp sau, biết đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và:

a, Đi qua điểm A(3;2)

b, Có hệ số a= √3

c, Song song với đường thẳng y=3x+1

Hướng dẫn giải :

Nhắc lại: Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0;0) có dạng y=ax (a ≠0)

a, Vì đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠ 0) đi qua gốc tọa độ O(0;0) nên có dạng y=ax (a ≠ 0)

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A(3;2) nên ta có: 2=3.a ⇔ a = 2/3

Vậy hàm số cần tìm là y = 2/3x

b, Vì đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠ 0) đi qua gốc tọa độ O(0;0) nên có dạng y=ax(a ≠ 0)

Vì hàm số đã cho có hệ số góc là a= √3 nên hàm số cần tìm là y= √3x

c, Vì đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠ 0) đi qua gốc tọa độ O(0;0) nên có dạng y=ax( a ≠ 0)

Vì đồ thị hàm số y=ax (a ≠ 0) song song với đường thẳng y=3x+1 nên a=3.

Vậy hàm số cần tìm là y=3x.

Bài 4

Cho đường thẳng y=(k+1)x+k. (1)

a, Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) đi qua gốc tọa độ.

b, Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

c, Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) song song với đường thẳng y=5x-5.

Gọi ý lời giải :

a, Đường thẳng y=ax+b đi qua gốc tọa độ khi b=0, nên đường thẳng y=(k+1)x+k qua gốc tọa độ khi k=0, khi đó hàm số là y=x.

b, Đường thẳng y=ax+b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. Do đó, đường thẳng y=(k+1)x+k cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 khi k=2.

Vậy k=2 và đường thẳng cần tìm là y=3x+2

c, Đường thẳng y=(k+1)x+k song song với đường thẳng y=5x-5 khi và chỉ khi k+1=5 và. Từ đó suy ra k=4.

Vậy hàm số cần tìm là y=5x+4.

Bài 5

a, Vẽ đồ thị của các hàm số y=x+1 và y=-x+3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b, Hai đường thẳng y=x+1 và y=-x+3 cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

c, Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

Lời giải :

a, Đồ thị hàm số y=x+1 đi qua A(-1; 0) và (0; 1)

Đồ thị hàm số y=-x+3 đi qua B(3; 0) và (0; 3)

b, Với đường thẳng y=x+1:

Cho y=0 ta suy ra x=-1. Vì vậy, đường thẳng cắt trục Ox tại A(-1; 0)

Với đường thẳng y=-x+3:

Cho y=0 ta tuy ra x=3. Vì vậy, đường thẳng cắt trục Ox tại B(3; 0)

Gọi C (x; y) là giao điểm của đường thẳng y=x+1 và đường thẳng y=-x+3.

Vì C(x; y) thuộc vào cả 2 đường thẳng trên nên ta có: x+1=-x+3. Từ đó suy ra x=1

Thay x=1 vào hàm y=x+1 ta được y=2

Vậy C(1; 2)

HÀM SỐ BẬC NHẤT